Selesaikan {l}{2x-5y=10}{4x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-5y=10$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

Gantikan 5+\frac{5y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=15.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

Darabkan 4 kali 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=15$$

Tambahkan 10y pada y.

$$11y+20=15$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Gantikan -\frac{5}{11} dengan y dalam x=\frac{5}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

Darabkan \frac{5}{2} dengan -\frac{5}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{25}{22}.

$$x=\frac{85}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

Tolak 8x+2y=30 daripada 8x-20y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y-2y=40-30$$

Tambahkan -20y pada -2y.

$$-22y=40-30$$

Tambahkan 40 pada -30.

$$-22y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Gantikan -\frac{5}{11} dengan y dalam 4x+y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

Tambahkan \frac{5}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{170}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{85}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$