Selesaikan {l}{2x-5y=1}{3x-2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-5y=1$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 5y+1.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{5y+1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=-4.

$$3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=-4$$

Darabkan 3 kali \frac{5y+1}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}-2y=-4$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada -2y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=-4$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{5}{2} kali -1.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}+\frac{5}{11}\left(-4\right)\\-\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$6x-15y=3,6x-4y=-8$$

Tolak 6x-4y=-8 daripada 6x-15y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-15y+4y=3+8$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y+4y=3+8$$

Tambahkan -15y pada 4y.

$$-11y=3+8$$

Tambahkan 3 pada 8.

$$-11y=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 3x-2y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-1\right)=-4$$

Darabkan -2 kali -1.

$$3x+2=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$