Selesaikan {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{62}{19} = -3\frac{5}{19} \approx -3.263157895$$

$$y = \frac{55}{19} = 2\frac{17}{19} \approx 2.894736842$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-5y=-21$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=5y-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 5y-21.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

Gantikan \frac{5y-21}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=-4.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-4$$

Darabkan 3 kali \frac{5y-21}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-4$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-4$$

Tambahkan \frac{63}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{2}y=\frac{55}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{55}{19}$$

Gantikan \frac{55}{19} dengan y dalam x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{55}{19}-\frac{21}{2}$$

Darabkan \frac{5}{2} dengan \frac{55}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{275}{38}-\frac{21}{2}$$

Tambahkan -\frac{21}{2} pada \frac{275}{38} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{62}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{19}\\\frac{55}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$6x-15y=-63,6x+4y=-8$$

Tolak 6x+4y=-8 daripada 6x-15y=-63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-15y-4y=-63+8$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-4y=-63+8$$

Tambahkan -15y pada -4y.

$$-19y=-63+8$$

Tambahkan -63 pada 8.

$$-19y=-55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=\frac{55}{19}$$

Gantikan \frac{55}{19} dengan y dalam 3x+2y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{55}{19}=-4$$

Darabkan 2 kali \frac{55}{19}.

$$3x+\frac{110}{19}=-4$$

Tolak \frac{110}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{186}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{62}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$