Selesaikan {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-4y=10$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 4y+10.

$$x=2y+5$$

Gantikan 2y+5 dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Darabkan 6 kali 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Tambahkan 12y pada -4y.

$$8y+30=11$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Gantikan -\frac{19}{8} dengan y dalam x=2y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Darabkan 2 kali -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Tolak 6x-4y=11 daripada 2x-4y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Tambahkan -4y pada 4y. Seubtan -4y dan 4y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-6x=10-11$$

Tambahkan 2x pada -6x.

$$-4x=10-11$$

Tambahkan 10 pada -11.

$$-4x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{1}{4} dengan x dalam 6x-4y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Darabkan 6 kali \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$