Selesaikan {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$2y+3x=-17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=10$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan \frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

Darabkan 3 kali \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Gantikan -\frac{64}{13} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan -\frac{64}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$2y+3x=-17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$2y+3x=-17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

Permudahkan.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

Tolak 6x+4y=-34 daripada 6x-9y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-4y=30+34$$

Tambahkan -9y pada -4y.

$$-13y=30+34$$

Tambahkan 30 pada 34.

$$-13y=64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

Gantikan -\frac{64}{13} dengan y dalam 3x+2y=-17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

Darabkan 2 kali -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

Tambahkan \frac{128}{13} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$