Selesaikan {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$17y+3x=-11$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=10$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan \frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

Darabkan 3 kali \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{43}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Gantikan -\frac{52}{43} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan -\frac{52}{43} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

Tambahkan 5 pada -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$17y+3x=-11$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x-3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$17y+3x=-11$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

Permudahkan.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

Tolak 6x+34y=-22 daripada 6x-9y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-34y=30+22$$

Tambahkan -9y pada -34y.

$$-43y=30+22$$

Tambahkan 30 pada 22.

$$-43y=52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

Gantikan -\frac{52}{43} dengan y dalam 3x+17y=-11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

Darabkan 17 kali -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

Tambahkan \frac{884}{43} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{411}{43}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$