Selesaikan {l}{2x-3y=4}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$y = -\frac{16}{13} = -1\frac{3}{13} \approx -1.230769231$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=4$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Gantikan \frac{3y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=2.

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)-y=2$$

Darabkan 5 kali \frac{3y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+10-y=2$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada -y.

$$\frac{13}{2}y+10=2$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Gantikan -\frac{16}{13} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+2$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan -\frac{16}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{24}{13}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{24}{13}.

$$x=\frac{2}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 4+\frac{3}{13}\times 2\\-\frac{5}{13}\times 4+\frac{2}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\-\frac{16}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=4,5x-y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$10x-15y=20,10x-2y=4$$

Tolak 10x-2y=4 daripada 10x-15y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-15y+2y=20-4$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y+2y=20-4$$

Tambahkan -15y pada 2y.

$$-13y=20-4$$

Tambahkan 20 pada -4.

$$-13y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=-\frac{16}{13}$$

Gantikan -\frac{16}{13} dengan y dalam 5x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-\left(-\frac{16}{13}\right)=2$$

Tolak \frac{16}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{10}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{2}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{13},y=-\frac{16}{13}$$