Selesaikan {l}{2x-3y=12}{4x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 12 } \\ { 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=12$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 12+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+6$$

Gantikan \frac{3y}{2}+6 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=24.

$$4\left(\frac{3}{2}y+6\right)+3y=24$$

Darabkan 4 kali \frac{3y}{2}+6.

$$6y+24+3y=24$$

Tambahkan 6y pada 3y.

$$9y+24=24$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 12,2\times 4x+2\times 3y=2\times 24$$

Permudahkan.

$$8x-12y=48,8x+6y=48$$

Tolak 8x+6y=48 daripada 8x-12y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-12y-6y=48-48$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-6y=48-48$$

Tambahkan -12y pada -6y.

$$-18y=48-48$$

Tambahkan 48 pada -48.

$$-18y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 4x+3y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=0$$