Selesaikan {l}{2x-3y=0}{-x+15y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - x + 15 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=0$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\times 3y$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y.

$$x=\frac{3}{2}y$$

Gantikan \frac{3y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -x+15y=3.

$$-\frac{3}{2}y+15y=3$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada 15y.

$$\frac{27}{2}y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{27}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{2}{9}$$

Gantikan \frac{2}{9} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2}{9}$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{2}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 15-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{27}&\frac{2}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 3\\\frac{2}{27}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=0,-x+15y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-\left(-3y\right)=0,2\left(-1\right)x+2\times 15y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$-2x+3y=0,-2x+30y=6$$

Tolak -2x+30y=6 daripada -2x+3y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+3y-30y=-6$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-30y=-6$$

Tambahkan 3y pada -30y.

$$-27y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -27.

$$y=\frac{2}{9}$$

Gantikan \frac{2}{9} dengan y dalam -x+15y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+15\times \frac{2}{9}=3$$

Darabkan 15 kali \frac{2}{9}.

$$-x+\frac{10}{3}=3$$

Tolak \frac{10}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{9}$$