Selesaikan {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=-1$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{3y-1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

Darabkan 2 kali \frac{3y-1}{2}.

$$3y-1+3y=16$$

Tambahkan 3y pada 3y.

$$6y-1=16$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Gantikan \frac{17}{6} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{17}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{17}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{15}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Tolak 2x+3y=16 daripada 2x-3y=-1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-3y=-1-16$$

Tambahkan -3y pada -3y.

$$-6y=-1-16$$

Tambahkan -1 pada -16.

$$-6y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Gantikan \frac{17}{6} dengan y dalam 2x+3y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

Darabkan 3 kali \frac{17}{6}.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

Tolak \frac{17}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{15}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$