Selesaikan {l}{2x-3y+13=0}{3x-2y+12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 13 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 12 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y+13=0$$

Tolak 13 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-3y=-13$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-13\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y-13.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}$$

Gantikan \frac{3y-13}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y+12=0.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}\right)-2y+12=0$$

Darabkan 3 kali \frac{3y-13}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{39}{2}-2y+12=0$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada -2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{39}{2}+12=0$$

Tambahkan -\frac{39}{2} pada 12.

$$\frac{5}{2}y-\frac{15}{2}=0$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{13}{2}$$

Darabkan \frac{3}{2} kali 3.

$$x=\frac{9-13}{2}$$

Tambahkan -\frac{13}{2} pada \frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-13\right)+\frac{3}{5}\left(-12\right)\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)+\frac{2}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y+13=0,3x-2y+12=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 13=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\times 12=0$$

Permudahkan.

$$6x-9y+39=0,6x-4y+24=0$$

Tolak 6x-4y+24=0 daripada 6x-9y+39=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-9y+4y+39-24=0$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y+4y+39-24=0$$

Tambahkan -9y pada 4y.

$$-5y+39-24=0$$

Tambahkan 39 pada -24.

$$-5y+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 3x-2y+12=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times 3+12=0$$

Darabkan -2 kali 3.

$$3x-6+12=0$$

Tambahkan -6 pada 12.

$$3x+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$