Selesaikan {l}{2x-2y=12}{5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-2y=12$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 12+2y.

$$x=y+6$$

Gantikan y+6 dengan x dalam persamaan lain, 5x-2y=9.

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

Darabkan 5 kali y+6.

$$5y+30-2y=9$$

Tambahkan 5y pada -2y.

$$3y+30=9$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-7+6$$

Tambahkan 6 pada -7.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

Tolak 5x-2y=9 daripada 2x-2y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

Tambahkan -2y pada 2y. Seubtan -2y dan 2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-5x=12-9$$

Tambahkan 2x pada -5x.

$$-3x=12-9$$

Tambahkan 12 pada -9.

$$-3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam 5x-2y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

Darabkan 5 kali -1.

$$-5-2y=9$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-7$$