Selesaikan {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Tambahkan \frac{1}{2} dan 2 untuk dapatkan \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 8 dengan y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tolak 4 daripada 9 untuk mendapatkan 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$8y-4-9x=5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$8y-9x=5+4$$

Tambahkan 5 dan 4 untuk dapatkan 9.

$$8y-9x=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

Gantikan -2y+\frac{5}{4} dengan x dalam persamaan lain, -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

Darabkan -9 kali -2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

Tambahkan 18y pada 8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

Tambahkan \frac{45}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$26y=\frac{81}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 26.

$$y=\frac{81}{104}$$

Gantikan \frac{81}{104} dengan y dalam x=-2y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Darabkan -2 kali \frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada -\frac{81}{52} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Tambahkan \frac{1}{2} dan 2 untuk dapatkan \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 8 dengan y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tolak 4 daripada 9 untuk mendapatkan 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$8y-4-9x=5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$8y-9x=5+4$$

Tambahkan 5 dan 4 untuk dapatkan 9.

$$8y-9x=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2 pada kedua-dua belah.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

Tambahkan \frac{1}{2} dan 2 untuk dapatkan \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 8 dengan y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 9 dengan x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

Tolak 4 daripada 9 untuk mendapatkan 5.

$$8y-4=9x+5$$

Tolak 9x daripada kedua-dua belah.

$$8y-4-9x=5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$8y-9x=5+4$$

Tambahkan 5 dan 4 untuk dapatkan 9.

$$8y-9x=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

Untuk menjadikan 2x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

Permudahkan.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

Tolak -18x+16y=18 daripada -18x-36y=-\frac{45}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Tambahkan -18x pada 18x. Seubtan -18x dan 18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

Tambahkan -36y pada -16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

Tambahkan -\frac{45}{2} pada -18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -52.

$$y=\frac{81}{104}$$

Gantikan \frac{81}{104} dengan y dalam -9x+8y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

Darabkan 8 kali \frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

Tolak \frac{81}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$