Selesaikan {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y-7=0$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x+y=7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-y+7}{2} dengan x dalam persamaan lain, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Darabkan 17 kali \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Tambahkan -\frac{17y}{2} pada -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Tambahkan \frac{119}{2} pada -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Tolak \frac{103}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{39}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{103}{39}$$

Gantikan \frac{103}{39} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{103}{39} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada -\frac{103}{78} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{85}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Untuk menjadikan 2x dan 17x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 17 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Permudahkan.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Tolak 34x-22y-16=0 daripada 34x+17y-119=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Tambahkan 34x pada -34x. Seubtan 34x dan -34x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$17y+22y-119+16=0$$

Tambahkan 17y pada 22y.

$$39y-119+16=0$$

Tambahkan -119 pada 16.

$$39y-103=0$$

Tambahkan 103 pada kedua-dua belah persamaan.

$$39y=103$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 39.

$$y=\frac{103}{39}$$

Gantikan \frac{103}{39} dengan y dalam 17x-11y-8=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Darabkan -11 kali \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Tambahkan -\frac{1133}{39} pada -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Tambahkan \frac{1445}{39} pada kedua-dua belah persamaan.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$x=\frac{85}{39}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$