Selesaikan {l}{2x+y-3=0}{2x-3y-7=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 3 = 0 } \\ { 2 x - 3 y - 7 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x+y=3$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{-y+3}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y-7=0.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y-7=0$$

Darabkan 2 kali \frac{-y+3}{2}.

$$-y+3-3y-7=0$$

Tambahkan -y pada -3y.

$$-4y+3-7=0$$

Tambahkan 3 pada -7.

$$-4y-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -1.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-3\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 3+\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y-3=0,2x-3y-7=0$$

Tolak 2x-3y-7=0 daripada 2x+y-3=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+3y-3+7=0$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+3y-3+7=0$$

Tambahkan y pada 3y.

$$4y-3+7=0$$

Tambahkan -3 pada 7.

$$4y+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 2x-3y-7=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\left(-1\right)-7=0$$

Darabkan -3 kali -1.

$$2x+3-7=0$$

Tambahkan 3 pada -7.

$$2x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$