Selesaikan {l}{2x+y=9}{2x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Gantikan \frac{-y+9}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

Darabkan 2 kali \frac{-y+9}{2}.

$$-y+9+3y=2$$

Tambahkan -y pada 3y.

$$2y+9=2$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan -\frac{7}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada \frac{7}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{25}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

Tolak 2x+3y=2 daripada 2x+y=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-3y=9-2$$

Tambahkan y pada -3y.

$$-2y=9-2$$

Tambahkan 9 pada -2.

$$-2y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{7}{2} dengan y dalam 2x+3y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

Darabkan 3 kali -\frac{7}{2}.

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{25}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{25}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$