Selesaikan {l}{2x+y=8}{x-2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=8$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Gantikan -\frac{y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, x-2y=-1.

$$-\frac{1}{2}y+4-2y=-1$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada -2y.

$$-\frac{5}{2}y+4=-1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$x=-1+4$$

Tambahkan 4 pada -1.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}&\frac{2}{2\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+y=8,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$2x+y=8,2x-4y=-2$$

Tolak 2x-4y=-2 daripada 2x+y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+4y=8+2$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+4y=8+2$$

Tambahkan y pada 4y.

$$5y=8+2$$

Tambahkan 8 pada 2.

$$5y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x-2y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times 2=-1$$

Darabkan -2 kali 2.

$$x-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=2$$