Selesaikan {l}{2x+y=7}{x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-y+7}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+2y=11.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}+2y=11$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 2y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}=11$$

Tolak \frac{7}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 5.

$$x=\frac{-5+7}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 11\\-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+y=7,2x+2\times 2y=2\times 11$$

Permudahkan.

$$2x+y=7,2x+4y=22$$

Tolak 2x+4y=22 daripada 2x+y=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y-4y=7-22$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-4y=7-22$$

Tambahkan y pada -4y.

$$-3y=7-22$$

Tambahkan 7 pada -22.

$$-3y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x+2y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times 5=11$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x+10=11$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=5$$