Selesaikan {l}{2x+y=6}{6x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Gantikan -\frac{y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

Darabkan 6 kali -\frac{y}{2}+3.

$$-3y+18-y=2$$

Tambahkan -3y pada -y.

$$-4y+18=2$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 4.

$$x=-2+3$$

Tambahkan 3 pada -2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

Tolak 12x-2y=4 daripada 12x+6y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+2y=36-4$$

Tambahkan 6y pada 2y.

$$8y=36-4$$

Tambahkan 36 pada -4.

$$8y=32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 6x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-4=2$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$