Selesaikan {l}{2x+y=4}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=2.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+y=2$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada y.

$$-\frac{1}{2}y+6=2$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{2}y=-4$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+2$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 8.

$$x=-4+2$$

Tambahkan 2 pada -4.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\\3\times 4-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

Tolak 3x+y=2 daripada 2x+y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-3x+y-y=4-2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-3x=4-2$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x=4-2$$

Tambahkan 4 pada -2.

$$-x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam 3x+y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3\left(-2\right)+y=2$$

Darabkan 3 kali -2.

$$-6+y=2$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=8$$