Selesaikan {l}{2x+y=36}{x-y=5.25}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 36 } \\ { x - y = 5.25 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=13.75$$

$$y=8.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=36$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+36\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+36.

$$x=-\frac{1}{2}y+18$$

Gantikan -\frac{y}{2}+18 dengan x dalam persamaan lain, x-y=5.25.

$$-\frac{1}{2}y+18-y=5.25$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada -y.

$$-\frac{3}{2}y+18=5.25$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-12.75$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{17}{2}$$

Gantikan \frac{17}{2} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{17}{2}+18$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{17}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{17}{4}+18$$

Tambahkan 18 pada -\frac{17}{4}.

$$x=\frac{55}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 36+\frac{1}{3}\times 5.25\\\frac{1}{3}\times 36-\frac{2}{3}\times 5.25\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{4}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+y=36,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5.25$$

Permudahkan.

$$2x+y=36,2x-2y=10.5$$

Tolak 2x-2y=10.5 daripada 2x+y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+y+2y=36-10.5$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+2y=36-10.5$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y=36-10.5$$

Tambahkan 36 pada -10.5.

$$3y=25.5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{17}{2}$$

Gantikan \frac{17}{2} dengan y dalam x-y=5.25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{17}{2}=5.25$$

Tambahkan \frac{17}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{55}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$