Selesaikan {l}{2x+y=2}{y=-x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 2 } \\ { y = - x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+1$$

Gantikan -\frac{y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, x+y=-2.

$$-\frac{1}{2}y+1+y=-2$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y+1=-2$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=-3$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-6\right)+1$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -6.

$$x=3+1$$

Tambahkan 1 pada 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\left(-2\right)\\-2+2\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=2,x+y=-2$$

Tolak x+y=-2 daripada 2x+y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-x+y-y=2+2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-x=2+2$$

Tambahkan 2x pada -x.

$$x=2+2$$

Tambahkan 2 pada 2.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4+y=-2$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-6$$