Selesaikan {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=12$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

Gantikan -\frac{y}{2}+6 dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{20}{7}$$

Gantikan \frac{20}{7} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{20}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

Tolak 6x-4y=16 daripada 6x+3y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+4y=36-16$$

Tambahkan 3y pada 4y.

$$7y=36-16$$

Tambahkan 36 pada -16.

$$7y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=\frac{20}{7}$$

Gantikan \frac{20}{7} dengan y dalam 3x-2y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

Darabkan -2 kali \frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

Tambahkan \frac{40}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{96}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{32}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$