Selesaikan {l}{2x+y=1}{-x+y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 1 } \\ { - x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{-y+1}{2} dengan x dalam persamaan lain, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=-2$$

Darabkan -1 kali \frac{-y+1}{2}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}+y=-2$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}=-2$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -1.

$$x=\frac{1+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=1,-x+y=-2$$

Tolak -x+y=-2 daripada 2x+y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x+x+y-y=1+2$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+x=1+2$$

Tambahkan 2x pada x.

$$3x=1+2$$

Tambahkan 1 pada 2.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam -x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-1+y=-2$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$