Selesaikan {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$y-7x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=-6$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Gantikan -\frac{y}{2}-3 dengan x dalam persamaan lain, -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Darabkan -7 kali -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Tambahkan \frac{7y}{2} pada y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -4.

$$x=2-3$$

Tambahkan -3 pada 2.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$y-7x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 7x daripada kedua-dua belah.

$$y-7x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Tolak -7x+y=3 daripada 2x+y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+7x=-6-3$$

Tambahkan 2x pada 7x.

$$9x=-6-3$$

Tambahkan -6 pada -3.

$$9x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam -7x+y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Darabkan -7 kali -1.

$$7+y=3$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-4$$