Selesaikan {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=-16$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

Gantikan -\frac{y}{2}-8 dengan x dalam persamaan lain, -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

Darabkan -4 kali -\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

Tambahkan 2y pada 10y.

$$12y+32=8$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -2.

$$x=1-8$$

Tambahkan -8 pada 1.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

Tolak -8x+20y=16 daripada -8x-4y=64 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-20y=64-16$$

Tambahkan -4y pada -20y.

$$-24y=64-16$$

Tambahkan 64 pada -16.

$$-24y=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -4x+10y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

Darabkan 10 kali -2.

$$-4x-20=8$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-2$$