Selesaikan {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+9y=19$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-9y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Gantikan \frac{-9y+19}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Darabkan 4 kali \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Tambahkan -18y pada my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Tolak 38 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Gantikan \frac{15}{-18+m} dengan y dalam x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Darabkan -\frac{9}{2} kali \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Tambahkan \frac{19}{2} pada -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Permudahkan.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Tolak 8x+2my=106 daripada 8x+36y=76 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Tambahkan 36y pada -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Tambahkan 76 pada -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Gantikan -\frac{15}{18-m} dengan y dalam 4x+my=53. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Darabkan m kali -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Tambahkan \frac{15m}{18-m} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$