Selesaikan {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+8y=64$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-8y+64$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -8y+64.

$$x=-4y+32$$

Gantikan -4y+32 dengan x dalam persamaan lain, 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

Darabkan 7 kali -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

Tambahkan -28y pada y.

$$-27y+224=8$$

Tolak 224 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-27y=-216$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -27.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-4y+32. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times 8+32$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=-32+32$$

Tambahkan 32 pada -32.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

Tolak 14x+2y=16 daripada 14x+56y=448 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$56y-2y=448-16$$

Tambahkan 56y pada -2y.

$$54y=448-16$$

Tambahkan 448 pada -16.

$$54y=432$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam 7x+y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+8=8$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=8$$