Selesaikan {l}{2x+8y=18}{-3x-4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 18 } \\ { - 3 x - 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$y = \frac{41}{8} = 5\frac{1}{8} = 5.125$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+8y=18$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-8y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -8y+18.

$$x=-4y+9$$

Gantikan -4y+9 dengan x dalam persamaan lain, -3x-4y=14.

$$-3\left(-4y+9\right)-4y=14$$

Darabkan -3 kali -4y+9.

$$12y-27-4y=14$$

Tambahkan 12y pada -4y.

$$8y-27=14$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8y=41$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=\frac{41}{8}$$

Gantikan \frac{41}{8} dengan y dalam x=-4y+9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times \frac{41}{8}+9$$

Darabkan -4 kali \frac{41}{8}.

$$x=-\frac{41}{2}+9$$

Tambahkan 9 pada -\frac{41}{2}.

$$x=-\frac{23}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&-\frac{8}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-8\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 18-\frac{1}{2}\times 14\\\frac{3}{16}\times 18+\frac{1}{8}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{23}{2}\\\frac{41}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+8y=18,-3x-4y=14$$

Untuk menjadikan 2x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-3\times 2x-3\times 8y=-3\times 18,2\left(-3\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 14$$

Permudahkan.

$$-6x-24y=-54,-6x-8y=28$$

Tolak -6x-8y=28 daripada -6x-24y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-24y+8y=-54-28$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-24y+8y=-54-28$$

Tambahkan -24y pada 8y.

$$-16y=-54-28$$

Tambahkan -54 pada -28.

$$-16y=-82$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=\frac{41}{8}$$

Gantikan \frac{41}{8} dengan y dalam -3x-4y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-4\times \frac{41}{8}=14$$

Darabkan -4 kali \frac{41}{8}.

$$-3x-\frac{41}{2}=14$$

Tambahkan \frac{41}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=\frac{69}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{23}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{23}{2},y=\frac{41}{8}$$