Selesaikan {l}{2x+7y=5}{3x+6y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+7y=5$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-7y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -7y+5.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-7y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

Darabkan 3 kali \frac{-7y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada 6y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Gantikan -\frac{25}{9} dengan y dalam x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{7}{2} dengan -\frac{25}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{175}{18} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{110}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

Permudahkan.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

Tolak 6x+12y=40 daripada 6x+21y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-12y=15-40$$

Tambahkan 21y pada -12y.

$$9y=15-40$$

Tambahkan 15 pada -40.

$$9y=-25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=-\frac{25}{9}$$

Gantikan -\frac{25}{9} dengan y dalam 3x+6y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

Darabkan 6 kali -\frac{25}{9}.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

Tambahkan \frac{50}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{110}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{110}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$