Selesaikan {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+7y=22$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-7y+22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

Gantikan -\frac{7y}{2}+11 dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

Darabkan 2 kali -\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

Tambahkan -7y pada -3y.

$$-10y+22=-14$$

Tolak 22 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{18}{5} dengan y dalam x=-\frac{7}{2}y+11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

Darabkan -\frac{7}{2} dengan \frac{18}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

Tambahkan 11 pada -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

Tolak 2x-3y=-14 daripada 2x+7y=22 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y+3y=22+14$$

Tambahkan 7y pada 3y.

$$10y=22+14$$

Tambahkan 22 pada 14.

$$10y=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{18}{5} dengan y dalam 2x-3y=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

Darabkan -3 kali \frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

Tambahkan \frac{54}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$