Selesaikan {l}{2x+5y=7}{-3x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=7$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+7.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-5y+7}{2} dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=15.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

Darabkan -3 kali \frac{-5y+7}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

Tambahkan \frac{15y}{2} pada y.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali 3.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada -\frac{15}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

Untuk menjadikan 2x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

Permudahkan.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

Tolak -6x+2y=30 daripada -6x-15y=-21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-2y=-21-30$$

Tambahkan -15y pada -2y.

$$-17y=-21-30$$

Tambahkan -21 pada -30.

$$-17y=-51$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -3x+y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+3=15$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=3$$