Selesaikan {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=259$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+259$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Gantikan \frac{-5y+259}{2} dengan x dalam persamaan lain, 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Darabkan 199 kali \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Tambahkan -\frac{995y}{2} pada -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Tolak \frac{51541}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{999}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Gantikan \frac{16429}{333} dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{2} dengan \frac{16429}{333} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Tambahkan \frac{259}{2} pada -\frac{82145}{666} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Untuk menjadikan 2x dan 199x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 199 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Permudahkan.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Tolak 398x-4y=2254 daripada 398x+995y=51541 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Tambahkan 398x pada -398x. Seubtan 398x dan -398x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$995y+4y=51541-2254$$

Tambahkan 995y pada 4y.

$$999y=51541-2254$$

Tambahkan 51541 pada -2254.

$$999y=49287$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

Gantikan \frac{16429}{333} dengan y dalam 199x-2y=1127. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Darabkan -2 kali \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Tambahkan \frac{32858}{333} pada kedua-dua belah persamaan.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$