Selesaikan {l}{2x+5y=2}{3x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=2$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+2.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

Gantikan -\frac{5y}{2}+1 dengan x dalam persamaan lain, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

Darabkan 3 kali -\frac{5y}{2}+1.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

Tambahkan -\frac{15y}{2} pada 3y.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{4}{9}$$

Gantikan \frac{4}{9} dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

Darabkan -\frac{5}{2} dengan \frac{4}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{10}{9}.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

Permudahkan.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

Tolak 6x+6y=2 daripada 6x+15y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-6y=6-2$$

Tambahkan 15y pada -6y.

$$9y=6-2$$

Tambahkan 6 pada -2.

$$9y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=\frac{4}{9}$$

Gantikan \frac{4}{9} dengan y dalam 3x+3y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

Darabkan 3 kali \frac{4}{9}.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{1}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$