Selesaikan {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$6y+5x=6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=17$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

Gantikan \frac{-5y+17}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

Darabkan 5 kali \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

Tambahkan -\frac{25y}{2} pada 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

Tolak \frac{85}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{73}{13}$$

Gantikan \frac{73}{13} dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{2} dengan \frac{73}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

Tambahkan \frac{17}{2} pada -\frac{365}{26} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$6y+5x=6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$6y+5x=6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

Permudahkan.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

Tolak 10x+12y=12 daripada 10x+25y=85 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y-12y=85-12$$

Tambahkan 25y pada -12y.

$$13y=85-12$$

Tambahkan 85 pada -12.

$$13y=73$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

Gantikan \frac{73}{13} dengan y dalam 5x+6y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

Darabkan 6 kali \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

Tolak \frac{438}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$