Selesaikan {l}{2x+5y=16}{3x-7y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 16 } \\ { 3 x - 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=16$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+16.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

Gantikan -\frac{5y}{2}+8 dengan x dalam persamaan lain, 3x-7y=24.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-7y=24$$

Darabkan 3 kali -\frac{5y}{2}+8.

$$-\frac{15}{2}y+24-7y=24$$

Tambahkan -\frac{15y}{2} pada -7y.

$$-\frac{29}{2}y+24=24$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{29}{2}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{29}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 16+\frac{5}{29}\times 24\\\frac{3}{29}\times 16-\frac{2}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=16,3x-7y=24$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 16,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 24$$

Permudahkan.

$$6x+15y=48,6x-14y=48$$

Tolak 6x-14y=48 daripada 6x+15y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+15y+14y=48-48$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+14y=48-48$$

Tambahkan 15y pada 14y.

$$29y=48-48$$

Tambahkan 48 pada -48.

$$29y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 29.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 3x-7y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=0$$