Selesaikan {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=50$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=130$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y+130$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y+130.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

Gantikan -\frac{5y}{2}+65 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=218.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

Darabkan 4 kali -\frac{5y}{2}+65.

$$-10y+260+3y=218$$

Tambahkan -10y pada 3y.

$$-7y+260=218$$

Tolak 260 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=-42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y+65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali 6.

$$x=-15+65$$

Tambahkan 65 pada -15.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=50,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

Permudahkan.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

Tolak 8x+6y=436 daripada 8x+20y=520 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-6y=520-436$$

Tambahkan 20y pada -6y.

$$14y=520-436$$

Tambahkan 520 pada -436.

$$14y=84$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 4x+3y=218. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\times 6=218$$

Darabkan 3 kali 6.

$$4x+18=218$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=50$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=50,y=6$$