Selesaikan {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{5}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+5y=-10$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-5y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Gantikan -\frac{5y}{2}-5 dengan x dalam persamaan lain, \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

Darabkan \frac{7}{5} kali -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali -4.

$$x=10-5$$

Tambahkan -5 pada 10.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{5}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan \frac{7}{5}x pada kedua-dua belah.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan \frac{7x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{7}{5} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

Tolak \frac{14}{5}x+2y=6 daripada \frac{14}{5}x+7y=-14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

Tambahkan \frac{14x}{5} pada -\frac{14x}{5}. Seubtan \frac{14x}{5} dan -\frac{14x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-2y=-14-6$$

Tambahkan 7y pada -2y.

$$5y=-14-6$$

Tambahkan -14 pada -6.

$$5y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam \frac{7}{5}x+y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{5}x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-4$$