Selesaikan {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=8$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+8.

$$x=-2y+4$$

Gantikan -2y+4 dengan x dalam persamaan lain, -2x+3y=6.

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

Darabkan -2 kali -2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

Tambahkan 4y pada 3y.

$$7y-8=6$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-2y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 2+4$$

Darabkan -2 kali 2.

$$x=-4+4$$

Tambahkan 4 pada -4.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

Untuk menjadikan 2x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

Permudahkan.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

Tolak -4x+6y=12 daripada -4x-8y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-6y=-16-12$$

Tambahkan -8y pada -6y.

$$-14y=-16-12$$

Tambahkan -16 pada -12.

$$-14y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -2x+3y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+3\times 2=6$$

Darabkan 3 kali 2.

$$-2x+6=6$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$