Selesaikan {l}{2x+4y=5}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=5$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+5.

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

Gantikan -2y+\frac{5}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+y=0.

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan y dalam x=-2y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

Darabkan -2 kali \frac{5}{2}.

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

Tolak 2x+2y=0 daripada 2x+4y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y-2y=5$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-2y=5$$

Tambahkan 4y pada -2y.

$$2y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan y dalam x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{5}{2}=0$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$