Selesaikan {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Gantikan -2y+6 dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=6.

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

Darabkan 3 kali -2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

Tambahkan -6y pada y.

$$-5y+18=6$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12}{5} dengan y dalam x=-2y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

Darabkan -2 kali \frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

Tambahkan 6 pada -\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

Permudahkan.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

Tolak 6x+2y=12 daripada 6x+12y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-2y=36-12$$

Tambahkan 12y pada -2y.

$$10y=36-12$$

Tambahkan 36 pada -12.

$$10y=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12}{5} dengan y dalam 3x+y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{18}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{6}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$