Selesaikan {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=10$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+10.

$$x=-2y+5$$

Gantikan -2y+5 dengan x dalam persamaan lain, x-y=7.

$$-2y+5-y=7$$

Tambahkan -2y pada -y.

$$-3y+5=7$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{2}{3} dengan y dalam x=-2y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

Darabkan -2 kali -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+5$$

Tambahkan 5 pada \frac{4}{3}.

$$x=\frac{19}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Permudahkan.

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

Tolak 2x-2y=14 daripada 2x+4y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+2y=10-14$$

Tambahkan 4y pada 2y.

$$6y=10-14$$

Tambahkan 10 pada -14.

$$6y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{2}{3} dengan y dalam x-y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{19}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$