Selesaikan {l}{2x+4y=10}{6x+9y=33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { 6 x + 9 y = 33 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=10,6x+9y=33$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=10$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+10.

$$x=-2y+5$$

Gantikan -2y+5 dengan x dalam persamaan lain, 6x+9y=33.

$$6\left(-2y+5\right)+9y=33$$

Darabkan 6 kali -2y+5.

$$-12y+30+9y=33$$

Tambahkan -12y pada 9y.

$$-3y+30=33$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-2y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-1\right)+5$$

Darabkan -2 kali -1.

$$x=2+5$$

Tambahkan 5 pada 2.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=10,6x+9y=33$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-4\times 6}&-\frac{4}{2\times 9-4\times 6}\\-\frac{6}{2\times 9-4\times 6}&\frac{2}{2\times 9-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\\1&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\33\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 10+\frac{2}{3}\times 33\\10-\frac{1}{3}\times 33\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=10,6x+9y=33$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 4y=6\times 10,2\times 6x+2\times 9y=2\times 33$$

Permudahkan.

$$12x+24y=60,12x+18y=66$$

Tolak 12x+18y=66 daripada 12x+24y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+24y-18y=60-66$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-18y=60-66$$

Tambahkan 24y pada -18y.

$$6y=60-66$$

Tambahkan 60 pada -66.

$$6y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 6x+9y=33. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+9\left(-1\right)=33$$

Darabkan 9 kali -1.

$$6x-9=33$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=-1$$