Selesaikan {l}{2x+3y=8}{3x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 3 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=8$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, 3x+3y=9.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+3y=9$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{9}{2}y+12+3y=9$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 3y.

$$-\frac{3}{2}y+12=9$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+4$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 2.

$$x=-3+4$$

Tambahkan 4 pada -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&\frac{2}{2\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8+9\\8-\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

Tolak 3x+3y=9 daripada 2x+3y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-3x+3y-3y=8-9$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-3x=8-9$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x=8-9$$

Tambahkan 8 pada -9.

$$-x=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam 3x+3y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3+3y=9$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$