Selesaikan {l}{2x+3y=6}{6x+5y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, 6x+5y=9.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

Darabkan 6 kali -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18+5y=9$$

Tambahkan -9y pada 5y.

$$-4y+18=9$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{9}{4} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{9}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{27}{8}.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

Permudahkan.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

Tolak 12x+10y=18 daripada 12x+18y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-10y=36-18$$

Tambahkan 18y pada -10y.

$$8y=36-18$$

Tambahkan 36 pada -18.

$$8y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{9}{4} dengan y dalam 6x+5y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

Darabkan 5 kali \frac{9}{4}.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

Tolak \frac{45}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$