Selesaikan {l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=57$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+57$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+57.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+57}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-5y=\frac{17}{2}.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y+57}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada -5y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

Tolak \frac{171}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{19}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{154}{19}$$

Gantikan \frac{154}{19} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{154}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

Tambahkan \frac{57}{2} pada -\frac{231}{19} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{621}{38}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

Permudahkan.

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

Tolak 6x-10y=17 daripada 6x+9y=171 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+10y=171-17$$

Tambahkan 9y pada 10y.

$$19y=171-17$$

Tambahkan 171 pada -17.

$$19y=154$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=\frac{154}{19}$$

Gantikan \frac{154}{19} dengan y dalam 3x-5y=\frac{17}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

Darabkan -5 kali \frac{154}{19}.

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

Tambahkan \frac{770}{19} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{1863}{38}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{621}{38}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$