Selesaikan {l}{2x+3y=5}{7x=6-5y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 6 - 5 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{7}{11}\approx -0.636363636$$

$$y = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 7x+5y=6.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=6$$

Darabkan 7 kali \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}+5y=6$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada 5y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=6$$

Tolak \frac{35}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{23}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{23}{11}$$

Gantikan \frac{23}{11} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{23}{11}+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{23}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{69}{22}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{69}{22} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{7}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 5-3\times 7}&\frac{2}{2\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 5+\frac{3}{11}\times 6\\\frac{7}{11}\times 5-\frac{2}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\\\frac{23}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5y pada kedua-dua belah.

$$7x+5y=6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=5,7x+5y=6$$

Untuk menjadikan 2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\times 5y=2\times 6$$

Permudahkan.

$$14x+21y=35,14x+10y=12$$

Tolak 14x+10y=12 daripada 14x+21y=35 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x+21y-10y=35-12$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-10y=35-12$$

Tambahkan 21y pada -10y.

$$11y=35-12$$

Tambahkan 35 pada -12.

$$11y=23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=\frac{23}{11}$$

Gantikan \frac{23}{11} dengan y dalam 7x+5y=6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+5\times \frac{23}{11}=6$$

Darabkan 5 kali \frac{23}{11}.

$$7x+\frac{115}{11}=6$$

Tolak \frac{115}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-\frac{49}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-\frac{7}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7}{11},y=\frac{23}{11}$$