Selesaikan {l}{2x+3y=5}{7x=4y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{14}{29}\approx 0.482758621$$

$$y = \frac{39}{29} = 1\frac{10}{29} \approx 1.344827586$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$7x-4y=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 7x-4y=-2.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-2$$

Darabkan 7 kali \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-2$$

Tambahkan -\frac{21y}{2} pada -4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-2$$

Tolak \frac{35}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{29}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{39}{29}$$

Gantikan \frac{39}{29} dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{39}{29}+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{39}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{117}{58}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{117}{58} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{14}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$7x-4y=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-2\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{29}\\\frac{39}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$7x-4y=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=5,7x-4y=-2$$

Untuk menjadikan 2x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$14x+21y=35,14x-8y=-4$$

Tolak 14x-8y=-4 daripada 14x+21y=35 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$14x-14x+21y+8y=35+4$$

Tambahkan 14x pada -14x. Seubtan 14x dan -14x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y+8y=35+4$$

Tambahkan 21y pada 8y.

$$29y=35+4$$

Tambahkan 35 pada 4.

$$29y=39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 29.

$$y=\frac{39}{29}$$

Gantikan \frac{39}{29} dengan y dalam 7x-4y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-4\times \frac{39}{29}=-2$$

Darabkan -4 kali \frac{39}{29}.

$$7x-\frac{156}{29}=-2$$

Tambahkan \frac{156}{29} pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=\frac{98}{29}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{14}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{14}{29},y=\frac{39}{29}$$