Selesaikan {l}{2x+3y=5}{4x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 4 x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=7.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=7$$

Darabkan 4 kali \frac{-3y+5}{2}.

$$-6y+10+3y=7$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y+10=7$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-3\times 4}&\frac{2}{2\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=5,4x+3y=7$$

Tolak 4x+3y=7 daripada 2x+3y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-4x+3y-3y=5-7$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-4x=5-7$$

Tambahkan 2x pada -4x.

$$-2x=5-7$$

Tambahkan 5 pada -7.

$$-2x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam 4x+3y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4+3y=7$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$