Selesaikan {l}{2x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=40$$

$$y=-25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=70$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=70$$

Tambahkan -\frac{9y}{2} pada 2y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{125}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-25$$

Gantikan -25 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-25\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali -25.

$$x=\frac{75+5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{75}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=-25$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 70\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-25\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=40,y=-25$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

Untuk menjadikan 2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 70$$

Permudahkan.

$$6x+9y=15,6x+4y=140$$

Tolak 6x+4y=140 daripada 6x+9y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+9y-4y=15-140$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-4y=15-140$$

Tambahkan 9y pada -4y.

$$5y=15-140$$

Tambahkan 15 pada -140.

$$5y=-125$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-25$$

Gantikan -25 dengan y dalam 3x+2y=70. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\left(-25\right)=70$$

Darabkan 2 kali -25.

$$3x-50=70$$

Tambahkan 50 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=40$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=40,y=-25$$